Thặng dư của một đơn thức

Tính thặng dư của đơn thức qua tích phân

∮ C z k d z {\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz}

với C {\displaystyle C} là đường tròn định hướng dương có bán kính 1 {\displaystyle 1} . Sử dụng phép đổi biến z → e i θ {\displaystyle z\to e^{i\theta }} ta có

∮ C z k d z = ∫ 0 2 π i e i ( k + 1 ) θ d θ = { 2 π i nếu  k = − 1 , 0 với các trường hợp còn lại . {\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{nếu }}k=-1,\\0&{\text{với các trường hợp còn lại}}.\end{cases}}}

Do đó thặng dư của đơn thức z k {\displaystyle z^{k}} bằng 1 {\displaystyle 1} nếu k = − 1 {\displaystyle k=-1} , và bằng 0 {\displaystyle 0} nếu k ≠ − 1 {\displaystyle k\neq -1} .

Kỳ dị bỏ được

Nếu hàm f có thể thác triển thành một hàm chỉnh hình trên toàn bộ đĩa | y − c | < R {\displaystyle |y-c|<R} thì Res(f, c) = 0. Điều ngược lại không đúng: ví dụ hàm 1 z 2 {\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}} có thặng dự tại 0 {\displaystyle 0} bằng 0 {\displaystyle 0} .

Cực điểm đơn

Tại một cực điểm đơn c, thặng dư của hàm f thỏa mãn

Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}

Cực điểm cấp cao

Tổng quát hơn, nếu c là một cực cấp n, thặng dư của f quanh z = c có thể được tính theo công thức:

Res ⁡ ( f , c ) = 1 ( n − 1 ) ! lim z → c d n − 1 d z n − 1 ( ( z − c ) n f ( z ) ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}